Düşünülemeyen Sayılar: Karmaşık Sayılar

TVC-mall WW

Geçmişimizi ve geleceğimizi oluşturan sayılar gerçeklikle derinden bağlantılıdır. Örneğin, bir kesir elde etmek istiyorsanız, bir elmayı dörde bölebilir veya pi sayısını görmek için bir daireyi inceleyebilirsiniz. Ancak gerçeklikle daha karmaşık sayılar da vardır. Buna karmaşık sayılar veya sanal sayılar diyoruz.

İsmine rağmen, bu sayılar oldukça gerçek…

Karmaşık sayılar, matematikçiler tarafından yüzyıllardır karıştırılan kareler ve kare kökler hakkındaki bir bulmacanın cevabıdır. Karekök işlevi, sahip olduğumuz sayıya ulaşmak için hangi sayının çarpmamız gerektiğini (kare) sorusunun cevabıdır. Başka bir deyişle, kare kök bize, alanının bildiğimiz bir karenin kenar uzunluğunun ne olduğunu söyler.

Karekök basit bir fikir olsa da, sorun şu soru ile ortaya çıkıyor: -1’in karekökü hangi sayıdır? Cevap -1 olamaz, çünkü -1 x -1 = 1. Aynı şekilde 1 olamaz, çünkü 1 x 1 = 1. Kenarları -1 metre olan bir kare çizemez ve köşegenini ölçemezsiniz. Hesap makineniz size bir hata mesajı verecektir.

Karmaşık Sayıların Kısa Tarihi

İlk olarak, MS 50’de, Yunan matematikçi Heron, piramidin bir bölümünün hacmini hesaplamaya çalışırken bu bilmece ile karşılaştı. Matematik yazılarında negatif bir sayının karekökünü kullanan ilk kişi İtalyan Fontana idi.

Fontana birçok önemli kitap yazdı. Öklid Elementlerini İtalyanca ve Arşimet’e çeviren ilk kişi oydu. Latince çalışır. Fakat hayatını koyulaştıracak olan, kübik denklemler üzerindeki çalışmasıdır.

Konuyu fazla genişletmemek için, burada kübik denklemlerle ilgili hikayeyi eklemiyoruz. Ancak, merak etmek ve bir göz atmak istiyorsanız, bu makaleyi inceleyebilirsiniz.

Üçüncü Mertebe Denklemlerin Sıradışı Hikayesi

Makaleyi okuduğunuzu kabul ederek açıklamaya devam edelim…

Fontana’dan sonra, matematikte genellikle karmaşık sayılar yer almaya başladı. Ancak, bunlar ciddi hoşnutsuzluk ve kafa karışıklığı meselesiydi. Kartezyen koordinat sisteminin kaşifi Descartes, bu sayıları “sanal” olarak adlandırdı.

On yıllar sonra Moivre ve Newton trigonometreyi karmaşık sayılarla birleştirdi. Daha sonra Euler matematiğe i notasyonu verdi.

Fontana’nın doğumundan üç yüz yıl sonra, Norveç araştırmacısı ve harita tasarımcısı Caspar Wesselsanal sayıları geometrik olarak ilk çizen oydu. Bununla birlikte, Wessel’in çalışması yüz yıl boyunca fark edilmeden bekledi ve mevcut buluşun onuru Jean-Robert Argand Adında bir muhasebeciye verildi.

Biraz haksız bir şekilde, karmaşık sayıların geometrik diyagramları bugün Wessel diyagramları değil, Argand diyagramları Buna denir.

karmaşık
Argand diyagramı

Argand diyagramları, karmaşık sayıları görselleştirmemize izin veren çok basit geometrik diyagramlardır. A + bi biçimindeki karmaşık bir sayı, (a, b) koordinatlarında gerçek bölümü “a” ve sanal bölümü “b” temsil eden bir nokta olarak düşünülebilir. Yatay x ekseni gerçek parçayı ve dikey y ekseni sanal parçayı tanımlar.

Okuma önerisi: İki Dakikada Matematik: Sanal Sayılar

Karmaşık sayılar çok uzun süre bir sır olarak kaldı. Hayal edebilir, hatta çizebilir, ama gerçekten ne anlama geldiğini
Biz anlamadık.

Pi’nin dairelerle ilgili olması gibi, i sayısı, doğada daha önce bilinmeyen gizemli bir şeyle mi ilgili? Sanal ise, karşılık gelen gerçeklik neydi?

Carl Friedrich Gauss

Gauss ve Karmaşık Sayılar

Carl Gauss adında bir matematikçi karmaşık sayıların ne olduğunu anlamamıza izin verdi. Yirmi iki yaşına gelindiğinde, Gauss doktorasını cebirin temel teoremi üzerine verdi.

Gauss, doktora tezinde karmaşık sayılar için a + bi gösterimini resmen tanıttı. Bunun göze çarpan ilk sonucu; Karmaşık sayılar sıfır olduğunda ortaya çıkan özel bir gerçek sayı türüdür. Gauss ayrıca karmaşık sayı terimini ilk kez kullanıyordu.

Cebirin temel teoremi bize karmaşık sayı alanının cebirsel olarak kapalı olduğunu söyler. Bu şu anlama gelir: Örneğin, 3x2+ 1 = 0 biçimindeki bir polinom denklemi verildiğinde, x, katsayılarla aynı nesne içinde bir çözüme sahiptir.

Kabaca konuşmak gerekirse, matematikte nesne Öğeler arasında temel aritmetik işlemlerin yapılabileceği ve sonucun aynı kümede olduğu bir kümedir.

Verdiğimiz örnek denklemde, 3 ve 1 katsayıları gerçek sayılardır, ancak çözüm, kökte -1 / 3 olduğundan sanaldır. Çözüm katsayılardan farklı bir sayı nesnesine aittir. Böylece, gerçek sayıların cebirsel olarak kapalı olmadığını gösteriyoruz.

Gauss, karmaşık sayıların cebirsel olarak kapalı olduğunu doğru bir şekilde kanıtlayan ilk matematikçilerden biriydi. Gauss, karmaşık sayılarda tanımlanan bir nci polinom denklemi için n çözümün olduğunu kanıtlamayı başardı.

Bu, karmaşık sayılar kullanırsak, bir polinomun köklerini her zaman bulabileceğimiz anlamına gelir. Bu nedenle, günümüzün fiziğinde denklem çözümleri için karmaşık sayılar sıklıkla kullanılır.

Kuantum Mekaniği ve Karmaşık Sayılar

Kuantum mekaniği, fizikçilerin çalışmalarını kolaylaştırmak yerine karmaşık sayıların hayati derecede önemli olduğu bir alandır.

Kuantum mekaniği bize enerjinin her zaman belirli bir boyutta olabileceğini söyler. Enerji, paketlere bölünmüş gibidir. Her paket bir parçacık gibi davranır.

Örneğin, bir ışık huzmesinin enerjisi foton parçacıklarından oluşur. Ancak ışığın bir dalga gibi davrandığını da biliyoruz. Fakat ışık nasıl hem parçacıklar hem de dalgalar olabilir?

Bu ikilemi, her parçacığın bir dalga fonksiyonu olduğunu söyleyen kuantum mekaniği ile çözüyoruz. Karmaşık dalga fonksiyonu, parçacığın belirli bir yerde veya başka bir özellikte olma olasılığını verir. Bu hesaplamalarda karmaşık sayılar çok gereklidir.

Ölçülebilir büyüklüğe karşılık gelen gerçek parçanın ve ölçülemez, genişletilmiş gerçekliğe karşılık gelen sanal parçanın bir arada bulunması, evrenin davranışını çok daha zengin ve daha eksiksiz bir şekilde anlamamızı sağlar.

Karmaşık Sayılar ve Geometri

Karmaşık sayıların farklı şekillerde nasıl yazılacağını, karmaşık sayılara karşılık gelen nokta ve vektörlerin nasıl çizileceğini biliyoruz. Peki geometri ne olacak?

Geometrik şekilleri gerçek sayılar kullanarak tanımlayabiliriz. Karmaşık sayıların geometrisi ne olacak? Karmaşık geometrik şekilleri tanımlamak için karmaşık sayılar kullanabilir miyiz?

Benoit Mandelbrot’un keşfettiği gibi, cevabımız kesin bir “evet”.

Karmaşık sayılardan kaynaklanan garip şekiller çizme çalışmaları ilk bilgisayar grafik çalışmaları arasındadır.

Mandelbrot, kesirli (kesirli) kelimesini çağrıştırmak için onlara “fraktal” adını verdi çünkü sürekli bölünme yoluyla şekiller elde ediyor. Kısa süre sonra doğanın her yerinde fraktal şekillerin bulunduğu anlaşıldı.

Bugün, Mandelbrot fraktalları Mandelbrot kümeleri olarak bilinir. Şekilleri, denklemdeki uzunlukları ikiden az olan karmaşık sayıların görüntülenmesidir. Bu rakamlar belki de bilgisayarlar tarafından oluşturulan en ünlü ve en çok görüntülenen görüntülerdi.

Karmaşık Sistemler

Günümüzde, denklemleri analiz ve karmaşık denklem analizi yerine sayısal olarak analiz etmek için bilgisayarları kullanabiliriz. Bu sayede biyolojik sistemleri modelleyebiliriz: nöronların beyinde birbirleriyle nasıl etkileşime girdiğini, evrimin genleri nasıl dönüştürdüğünü ve hücrelerimizin nasıl birbirine adapte olduğunu öğreniriz.

Modern karmaşıklık teorilerine yol açan bu yeni matematik türüne karmaşıklık bilimi denir. Sadece bazı sistemlerin (özellikle insanlar gibi biyolojik sistemlerin) geleneksel matematik ve hatta kaos teorisi ile öngörülebilir davranmadığını anlıyoruz.

Bu karmaşıklığın neden ve nasıl ortaya çıktığını inceleyerek, diğer karmaşık yapıların nasıl kontrol edilebileceğini anlamaya başlıyoruz. Merak ettiğimiz birçok benzer karmaşık sistem var: salgın hastalıkların yayılması, ekonomideki dalgalanmalar, ekolojik değişim tahminleri ve daha fazlası.

Karmaşık sistemleri yöneten sayıları anladığımızda, müdahalelerimizin gelecekte ne gibi etkileri olacağını (ve geçmişte bu sistemlere müdahalelerimizin sonuçlarını) anlayacağız.

Bir sayfaya sığdırmaya çalıştığımız bu makalenin “Neden karmaşık sayılar öğreniyoruz?” sorularına kısa bir cevap verebilecektir …

Kaynak kitap: Sayılar Kitabı, Sayıların Sırrı ve Dünyamızı Nasıl Yarattıkları, Peter J. Bentley, NTV Yayınları

Bir Önceki Yazımız Olan Koronavirüsü Oluşturan Spike Proteinleri Müziğe Dönüştürüldü Başlıklı Makalemizde Hakkında Bilgiler Verilmektedir.

Bu Haberi Sosyal Ağlarda Paylaşın!

İlgili Mesajlar

Leave a Comment