Diyet Sorunu ve Doğrusal Programlama

TVC-mall WW

Diyet, sağlığı korumak veya iyileştirmek için fiziksel olarak uygulanan bir diyet, diyet veya rejim olarak tanımlanır. Ruhsal ve zihinsel olarak aynı amaca hizmet eden tüm yöntemlere “diyet” denebilir.

Klasik diyet problemi, sağlıklı bir diyetin minimum para ile organize edilmesi sorusunu cevaplamayı amaçlamaktadır. Şimdi bu soruna bir göz atalım:
“Tanya Smith sporu ciddi bir arayış olarak görüyor. Her gün spor salonuna gider, ne yediğine ve içerdiğine dikkat eder. Sağlıklı ve formda kalmak için her ay doğru miktarda vitamin ve mineral almanız önemlidir. Bu miktarlar koç tarafından belirlenir.
Antrenöre göre, Olimpiyat şampiyonası adayları her ay en az 120 mg vitamin ve 880 mg mineral almalıdır. Tanya, bu diyete uymak için 2 farklı besin takviyesi alır. Biri katı formda Solido, diğeri sıvı formda Liquex. Tanya ile ilgili sorun, koçun söylediklerini tam olarak yerine getirmek için ne kadar alabileceğini bulmaktır. ”

Sorunu çözelim:

Tanya, Solido ve Liquex’in içeriğini inceler. Solido kutusunda yazılanlara göre, 2 mg vitamin 10 mg mineral; Liquex’te 3 mg vitamin ve 50 mg mineral bulunur. 30 kutu Solido ve 5 şişe Liquex alır. Sonra hesabını yapar. Aldıkları şeye göre, toplam 75 mg vitamin (2 * 30 = 60 ve 3 * 5 = 15; 60 + 15 = 75); 550 mg mineral olduğunu görüyor (10 * 30 + 50 * 5 = 550).

 SolidoLiquexGereken tutar
vitamin2 mg3 mg120 mg
Mineral10 mg50 mg880 mg

Tanya koçun miktarını düşündüğünde, ilaç bölümüne geri dönmeye ve 10 kutu Solido ve 10 şişe daha Liquex almaya karar verir. Yeniden hesapladığında, 125 mg vitamin ve 1150 mg mineral içerir ve koçun istediğinden daha fazla vitamin ve mineral olduğunu düşünür.
İlk 30 kutu Solido ve 5 şişe (30.5) Liquex onun için yeterli değil. 40 kutu Solido ve 15 şişe Liquex (40,15) kendi kendine yeterlidir.
Ancak soruna birçok olası çözüm var. Nasıl?
İsterse, sadece 88 kutu Solido (88.0) alır.
(2 * 88 + 3 * 0 = 176 mg vitamin; 10 * 88 + 50 * 0 = 880 mg mineral)
Veya sadece 40 şişe Liquex (0.40) alır.
(2 * 0 + 3 * 40 = 120 mg vitamin; 10 * 0 + 50 * 40 = 2000 mg mineral).
Görülebileceği gibi, bu miktarlar koçun söylediği miktarlara uygundur. Asıl soru burada başlıyor, ancak olasılıklarda harcanacak parayı optimize etme problemi varsa, uygun çözüm hangisidir?
Her iki ilacın fiyatı 5 dolar. Bu nedenle, (40,15), (88,0) ve (0,40) değerlerinin maliyeti sırasıyla 275, 440 ve 200 dolar. Basit bir matematik hesaplamasıyla (0.40), yani Solido almamak ve 40 şişe Liquex satın almak en uygun sonuç gibi görünüyor.
Farklı bir çözüm varsa ne olur? Tanya bu soruyu sorar ve doğrusal programlama sorununun mantığını düşünür.

 

Tanya grafiğe baktığında, (48.8) noktasında yeni bir çözüm keşfeder. Başka bir deyişle, koçun isteğini sağlayan çözüm olarak 48 kutu Solido ve 8 şişe Liquex almayı düşünüyor (120 mg vitamin ve 880 mg mineral). Ama maliyeti 280 $. Yani parayı düşünebilir ve 200 dolar için 40 şişe Liquex satın alabilir veya 280 dolar için 48 kutu Solido ve 8 şişe Liquex satın alabilirsiniz.
Optimum çözümün göreceli paraya da bağlı olduğu anlaşılacaktır. Solido’nun kutusu 2 $ ‘a düşerse ve Liquex 7 $’ a çıkarsa, (0.40), (48.8) ve (88.0) kombinasyonlarının maliyetleri sırasıyla 280, 152 ve 176 $ ‘dır ve en akıllı seçim 48 kutudur. Solido ve 8 şişe Liquex. Klasik diyet probleminden başlayarak, sorumuz bizi doğrusal programlamanın mantığını anlamamıza götürüyor.

Hadi doğrusal programlama tarihiNe…

 

1826’da Fourier doğrusal programlamayı çağrıştıran çalışmalar yapar; Gauss doğrusal denklemleri Gauss eleme yöntemiyle çözer. 1902’de Farkas eşitsizlik sistemlerinin çözümüne ulaşır.

 

[1945’teStiglerdiyetproblemiiçinüstünkörübiryöntembulur(yukarıdakiresimdebirörnekvardır)1947’deAmerikalımatematikçiGeorge Dantzig, Amerikan Hava Kuvvetleri adına çalışırken, doğrusal programlama problemlerini çözmek için “Simplex Metodu” geliştirmiştir. Bu çalışma ile Batı’da doğrusal programlamanın babası olarak kabul edilir.
Soğuk Savaş sırasında, Sovyet Rusya’daki Leonid Kantorovich bağımsız bir doğrusal programlama teorisi bulur. 1975 yılında Kantorovich ve Hollandalı matematikçi Tjalling Koopmans, lineer programlama yöntemlerini kullanarak kaynak dağıtımı konusundaki çalışmaları ile Ekonomi Nobel’i kazandı.
Tanya’nın çözümü iki değişkenli bir algoritma olsa da, günümüzde binlerce değişkeni içeren sorunların çözümleri bilgisayarlar aracılığıyla kolayca bulunabilir.
Bununla birlikte, 1938’de, 10 kişi New York’ta 9 vitaminle 77 değişkenli bir diyet problemini çözmek için hesaplar.
1984’e gelindiğinde, Hintli matematikçi Narenda Karmarkar çok pratik yeni bir algoritma geliştirdi. Rus Leonid Khachiyan yeni bir teorik öneme sahip yöntem buluyor.
Temel diyet problemine ek olarak, doğrusal programlama birçok farklı alanda gerçekleşir. Yöntem, malları ulaşım sorunlarından fabrika depolarına transfer edecek veya kar sağlayacak uygulamaları hesaplamada önemini korumaktadır. Başka bir deyişle, doğrusal programlama, maliyetleri en aza indirmek, en uygun kaynak tahsisini sağlamak ve kârı en üst düzeye çıkarmak için üretim, finans, pazarlama, reklam ve tarım gibi birçok alanda kullanılmaktadır.
Doğrusal problemlerin temel amacı, kârı en üst düzeye çıkarmak için optimum çözüme ulaşmaktır. Tanya sorununda ve bugün, kelimenin özü minimum maliyetle sağlıklı yaşamaktır!
Referanslar: Bu makale Tony Crilly’nin “Gerçekten Bilmeniz Gereken 50 Matematik Fikri” kitabından uyarlanmıştır.

Bir Önceki Yazımız Olan Simpson Paradoksuyla İstatistik Yanılsamalarına Bir Bakış Başlıklı Makalemizde Hakkında Bilgiler Verilmektedir.

Bu Haberi Sosyal Ağlarda Paylaşın!

İlgili Mesajlar

Leave a Comment